নিচের কোন সংখ্যাটি ৯ দ্বারা বিভাজ্য?

২ দ্বারা বিভাজ্য
২ এর কয়েকটি গুণিতক লিখে পাই,

২$\times$০ = ০, ২$\times$ ১ = ২, ২$\times$২ = ৪, ২$\times$৩ = ৬, ২$\times$৪ = ৮,
২$\times$৫ = ১০, ২$\times$৬ = ১২, ২$\times$ ৭ = ১৪, ২$\times$৮ = ১৬, ২$\times$৯ = ১৮ ইত্যাদি।

গুণফলের প্রক্রিয়া লক্ষ করি। যেকোনো সংখ্যাকে ২ দ্বারা গুণ করলে গুণফলের একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে ০, ২, ৪, ৬ বা ৮। সুতরাং কোনো সংখ্যার একক স্থানীয় অঙ্ক ০, ২, ৪, ৬ বা ৮ হলে, সংখ্যাটি ২ দ্বারা বিভাজ্য হবে। এরূপ সংখ্যাকে আমরা জোড় সংখ্যা বলে জানি।

৪ দ্বারা বিভাজ্য
৩৫১২ কে স্থানীয় মানে লিখলে হয়:

৩৫১২ = ৩০০০ + ৫০০ + ১০ + ২
এখানে, ১০, ৪ দ্বারা বিভাজ্য নয়। কিন্তু দশকের বামদিকের যেকোনো অঙ্কের স্থানীয় মান ৪ দ্বারা বিভাজ্য।
আবার, ৩৫১২ = ৩০০০ + ৫০০ + ১২
এখানে, ১২, ৪ দ্বারা বিভাজ্য। সুতরাং ৩৫১২ সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য। অর্থাৎ একক ও দশক স্থানীয় অঙ্ক দুইটি দ্বারা গঠিত সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য হওয়ায় সংখ্যাটি ৪ দ্বারা বিভাজ্য।

৫ দ্বারা বিভাজ্য
৫ এর কয়েকটি গুণিতক লিখি।

৫$\times$০ = ০,
৫$\times$১ = ৫,
৫$\times$২ = ১০,
৫$\times$৩ = ১৫,
৫$\times$৪ = ২০,
৫$\times$৫ = ২৫,
৫$\times$৬ = ৩০,
৫$\times$ ৭ = ৩৫,
৫$\times$৮ = ৪০,
৫$\times$৯ = ৪৫ ইত্যাদি।

গুণফলের প্রক্রিয়া লক্ষ করে দেখি যে, কোনো সংখ্যাকে ৫ দিয়ে গুণ করলে গুণফলের একক স্থানীয় অঙ্কটি হবে ০ বা ৫। সুতরাং একক স্থানে ০ বা ৫ অঙ্কযুক্ত সংখ্যা ৫ দ্বারা বিভাজ্য হবে।

৩ দ্বারা বিভাজ্য

এখানে, ৩ $\times$ ৩ $\times$ ৪ এবং ৩ $\times$ ৩ $\times$ ১১ সংখ্যাগুলো ৩ দ্বারা বিভাজ্য এবং একক, দশক ও শতক স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফল = ১+৪+৭+=১২ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

$\therefore$ ১৪৭ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য।

আবার, ১৪৮ সংখ্যাটি বিবেচনা করি।

এখানে, ৩ $\times$ ৩ $\times$ ৪ এবং ৩ $\times$ ৩ $\times$ ১১ সংখ্যাগুলো ৩ দ্বারা বিভাজ্য। কিন্তু একক, দশক ও শতক স্থানীয় অঙ্কগুলোর যোগফল = ১+৪+৮=১৩ ; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

$\therefore$১৪৮ সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য নয়।

৬ দ্বারা বিভাজ্য
কোনো সংখ্যা ২ এবং ৩ দ্বারা বিভাজ্য হলে সংখ্যাটি ৬ দ্বারাও বিভাজ্য হবে।

৯ দ্বারা বিভাজ্য
৩৭৮ সংখ্যাটি বিবেচনা করি।

উদাহরণ ১। জারিফ জাওয়াদকে এক অঙ্কের ছয়টি সংখ্যা লিখতে বলায় যে ২, ০, ৩, ৮, ৭ ও ৪ লিখলো। জারিফ জাওয়াদকে ৪৭৫ $\square$ ২ লিখে বললো এমন কিছু অংক যা $\square$ চিহ্নিত স্থানে বসালে প্রতিক্ষেত্রে গঠিত সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হয়।

(ক) জাওয়াদের লেখা সংখ্যাগুলো থেকে মৌলিক সংখ্যাগুলো আলাদা করে সংখ্যাগুলোর মৌলিক সংখ্যা হওয়ার কারণ লিখ।
(খ) দেখাও যে জাওয়াদের লেখা অঙ্কগুলো দ্বারা গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
(গ) $\square$চিহ্নিত স্থানে কোন কোন অঙ্ক বসবে তা নির্নয় কর?

সমাধান:

(ক)

জাওয়াদের লেখা অঙ্কগুলো হলো; ২, ০, ৩, ৮, ৭৩৪।
এদের মধ্যে মৌলিক সংখ্যা ২, ৩, ৭
কারণ, ২=১$\times$ ২, ৩=১ $\times$ ৩, ৭=১ $\times$ ৭,
অর্থাৎ, ২, ৩, ৭ এর গুননীয়ক ১ এবং ঐ সংখ্যাটি।

(খ)

জাওয়াদের লেখা অঙ্কগুলো হলো; ২, ০, ৩, ৮, ৭ ও ৪।
এখানে, $৮>৭>৪>৩>২>০$
অতএব, ২, ০, ৩, ৮, ৭ ও ৪ এর দ্বারা গঠিত বৃহত্তম সংখ্যাটি, ৮৭৪৩২০
এবং ক্ষুদ্রতম সংখ্যা= ২০৩৪৭৮
এখন, গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার
বিয়োগফল = ৮৭৪৩২০-২০৩৪৭৮ = ৬৭০৮৪২
আবার, ৬৭০৮৪২ সংখ্যাটির অঙ্কগুলোর যোহফল
= ৬+৭+০+৮+৪+২ = ২৭; যা ৯ দ্বারা বিভাজ্য।
সুতরাং গঠিত বৃহত্তম ও ক্ষুদ্রতম সংখ্যার বিয়োগফল ৯ দ্বারা বিভাজ্য। (দেখানো হলো)

(গ)

৪৭৫ $\square$২ এ ব্যবহৃত অঙ্কগুলোর যোগফল = ৪+৭+৫+২ = ১৮; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব $\square$ এর স্থানে ০ বসালে সংখ্যাটি ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
অঙ্কগুলো যোগফলের সাথে ৩ যোগ করলে হয়, ১৮+৩=২১; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
অতএব $\square$ এর স্থলে ৩ বসালে গঠিত সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
একই ভাবে, ১৮+৬ = ২৪; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
১৮+৯= ২৭; যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য।
সতুরাং $\square$ এর স্থলে ৬ ও ৯ এর যে কোনটি বসালেও গঠিত সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।
অতএব $\square$ এর স্থানে ০, ৩, ৬, ৯ অঙ্কগুলোর যে কোনোটি বসালে প্রতিক্ষেত্রে গঠিত সংখ্যা ৩ দ্বারা বিভাজ্য হবে।